고난도 모의고사 변형문제는 어떻게 새로 만들어질까

모의고사와 교재 문제의 변형은 단순히 “비슷한 문제를 하나 더 만드는 일”이 아닙니다. 특히 고난도 문항은 조건 하나가 움직이면 풀이의 중심이 통째로 바뀌거나, 보기 중 정답이 사라질 수 있습니다.

그래서 PLANA Labs는 문제를 많이 만드는 데서 멈추지 않습니다. 원문항이 실제로 무엇을 묻는지 읽고, 다른 조건에서도 같은 수준의 판단이 필요한지 확인하고, 마지막에는 사람이 다시 문제를 풉니다.

고난도 문항은 어디를 바꿔야 할까요

고난도 모의고사 문항은 숫자가 복잡해서 어려운 경우보다, 여러 조건이 한꺼번에 맞물려서 어려운 경우가 많습니다. 따라서 수치만 바꾸면 답의 모양만 달라지고, 학생은 원래 풀이를 그대로 대입하게 됩니다.

반대로 조건을 너무 크게 흔들면 전혀 다른 단원을 묻거나, 객관식 보기와 답이 어긋날 수 있습니다. 우리는 원문항의 핵심 판단은 남기되, 답으로 가는 경로는 새로 만들 수 있는지를 먼저 봅니다.

사례 1 · 그림이 있는 고난도 문항

2025년 10월 고3 모의고사 30번과 실제 연결된 변형문항입니다.

2025년 10월 고3 모의고사 · 원문항 전문

30번 · 벡터와 원

좌표평면에 한 변의 길이가 $8$인 정사각형 $ABCD$와
$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}-\frac12\overrightarrow{AB}$
를 만족시키는 점 $E$가 있다. 선분 $BC$를 지름으로 하는 원 위를 움직이는 점 $P$에 대하여 점 $Q$가 다음 조건을 만족시킨다.

$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AP}\ge0$이면 $\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{CQ}=4\overrightarrow{PQ}$이고, $\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AP}<0$이면 $\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{CQ}=6\overrightarrow{PQ}$이다.

$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AQ}$의 최댓값과 최솟값을 각각 $M,m$이라 할 때, $(M+m)^2$의 값을 구하시오. [4점]

PLANA Labs · 변형문항 전문

좌표 조건으로 재구성한 변형

좌표평면에 정사각형 $ABCD$를 $A(0,8)$, $B(0,0)$, $C(8,0)$, $D(8,8)$에 둔다. 점 $E$는 $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}-\frac12\overrightarrow{AB}$를 만족시킨다. 원 $(x-4)^2+y^2=16$ 위를 움직이는 점 $P(x,y)$에 대하여, $2x+y\ge8$이면 $\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{CQ}=4\overrightarrow{PQ}$이고, $2x+y<8$이면 $\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{CQ}=6\overrightarrow{PQ}$이다.

$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AQ}$의 최댓값과 최솟값을 $M,m$이라 할 때 $(M+m)^2$의 값을 구하시오.

① $180$　② $240$　③ $320$　④ $400$　⑤ $480$

풀이·해설 보기

$\overrightarrow{AE}=(8,4)$이므로 $\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AP}=4(2x+y-8)$이다. 따라서 새 좌표 조건은 원문의 벡터 조건과 같은 경계를 나타낸다.

두 경우의 $Q$를 $P$와 원의 중심으로 표현하고 $P=(4+4\cos\theta,4\sin\theta)$를 대입하면 $M=32\sqrt5$, $m=-24\sqrt5$이다. 따라서 $(M+m)^2=320$이며 정답은 ③이다.

비교 분석: 원문은 벡터의 내적으로 두 경우를 나누지만, 변형은 좌표를 직접 부여하고 그 경계를 직선 2x+y=8로 다시 표현합니다. 같은 그림을 보고도 두 조건이 동치임을 먼저 밝혀야 다음 계산으로 넘어갈 수 있습니다.

사례 2 · 그림이 없는 고난도 문항

2024년 3월 고3 모의고사 28번 4점 문항과 실제 연결된 변형문항입니다.

2024년 3월 고3 모의고사 · 원문항 전문

28번 · 자연수 조건의 경우의 수

다음 조건을 만족시키는 자연수 $a,b,c$의 모든 순서쌍 $(a,b,c)$의 개수는? [4점]

(가) $ab^2c=720$
(나) $a$와 $c$는 서로소가 아니다.

① $38$　② $42$　③ $46$　④ $50$　⑤ $54$

PLANA Labs · 변형문항 전문

두 조건을 네 조건으로 확장한 변형

자연수 $a,b,c$가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

(가) $ab^2c=720$
(나) $a$는 홀수이다.
(다) $b$는 $3$의 배수가 아니다.
(라) $a$와 $c$는 서로소가 아니다.

조건을 만족시키는 모든 순서쌍 $(a,b,c)$의 개수를 구하시오.

① $6$　② $12$　③ $18$　④ $24$　⑤ $30$

풀이·해설 보기

$720=2^4\cdot3^2\cdot5$이다. $a$가 홀수이므로 $a$의 소인수 $2$의 지수는 $0$이고, $b$가 $3$의 배수가 아니므로 $b$의 소인수 $3$의 지수도 $0$이다.

소인수 $2,3,5$의 지수를 배분하면 (가)~(다)를 만족하는 경우는 $3\cdot3\cdot2=18$가지이다. 이 중 $a,c$가 서로소인 경우 $3\cdot2\cdot2=12$가지를 제외하면 $18-12=6$가지이므로 정답은 ①이다.

비교 분석: 원문은 곱과 서로소 조건 두 개를 함께 세는 문제입니다. 변형은 홀짝 조건과 3의 배수 제한을 추가해 소인수별 지수 배분을 다시 설계했습니다. 원문 풀이를 그대로 반복할 수 없고, 전체 경우에서 서로소인 경우를 제외하는 새로운 분류가 필요합니다.

생성 뒤에 더 오래 하는 일

교재와 모의고사 문제는 각각 다른 방식으로 살핍니다. 교재 문제는 단원 안에서 무엇을 연습시키는지, 모의고사 문제는 제한된 시간 안에 어떤 판단을 요구하는지를 봅니다. 하지만 공통으로 확인하는 것은 같습니다. 질문이 하나로 읽히는지, 모든 조건이 실제로 쓰이는지, 정답과 보기가 정확히 하나로 결정되는지입니다.

기계적인 점검을 통과한 문제도 그대로 공개하지 않습니다. 모든 문항은 20년 이상 직강 경력의 수학원장이 직접 최종 검수합니다. 학생의 풀이 흐름에서 막히는 표현은 없는지, 난이도가 의도와 맞는지, 문제로서 풀어볼 가치가 있는지를 마지막으로 판단합니다.

고난도만 골라 보여드리는 이유

이번 글의 비교 사례는 고난도 모의고사 문항만 골랐습니다. 쉬운 문제는 수치와 표현의 변화만으로도 연습의 폭을 넓힐 수 있지만, 고난도 문제는 그 방식이 가장 빨리 한계에 닿기 때문입니다.

아래 사례에는 원문항과 변형문항의 발문을 함께 싣고, 객관식 문항은 선택지까지 보여드립니다. 변형문항의 풀이·해설도 펼쳐서 확인할 수 있습니다. 공개하지 않는 것은 문제를 대량으로 재현할 수 있는 내부 생성 규칙뿐입니다. 이 보이지 않는 검토가 있어야 변형문제가 또 하나의 믿을 수 있는 연습문제가 됩니다.